4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式

4-4-1. ルジャンドルの多項式, 陪多項式1

ここでは, ルジャンドルの多項式, 陪多項式に関する有用な公式をまとめる.

1. ルジャンドルの陪関数

\[ \begin{equation} \begin{array}{r} P_{n}^{m}(t)=\frac{(1-t^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n} \sum_{k=0}^{[(n-m)/2]}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k-m)!}t^{n-2k-m} \\ (-1 \leq t \leq 1) \end{array} \end{equation} \]

ここで$［*］$は, $*$を越えない最大の整数(Gaussの記号)である.

2. ルジャンドルの多項式

\[P_{n}^{0}(t)=P_{n}(t)=\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!}t^{n-2k} \]

3. ロドリゲスの公式

\[ \begin{equation} \begin{array}{l} P_{n}(t)&=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dt^n}(t^2-1)^n \\ P_{n}^{m}(t)&=(1-t^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m}}{dt^{m}}P_n(t) \\ &=\frac{1}{2^n n}(1-t^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{n+m}}{dt^{n+m}}(t^2-1)^n \end{array} \end{equation} \]

4. ルジャンドル多項式の級数和

\[ L=\sqrt{1-2st+s^2} \]

として

\[ \sum_{n=0}^{\infty}s^n P_n(t)=\frac{1}{L} \]

\[ F(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}s^{n+1} P_n(t) =\frac{s}{L} \]

\[ \sum_{n=0}^{\infty}ns^{n-1}P_n(t)=\frac{t-s}{L^3} \]

\[ \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)s^n P_n(t)=\frac{1-s^2}{L^3} \]

正の整数$A$に対して

\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+A}s^{n+1}P_n(t)=F_A (s,t) \]

$0$または負の整数$A$に対して

\[ \sum_{n=1-A}^{\infty}\frac{1}{n+A}s^{n+1}P_n(t)=F_A (s,t) \]

ただし

\[ M=1-L-st \\ N=1+L-st \]

として

\[ \begin{equation} \begin{array}{l} F_0(s,t)&=s \ln{\frac{2}{n}} \\ F_{-1}(s,t)&=s\left(M+st \ln{\frac{2}{N}} \right) \\ F_{-2}(s,t)&=s\frac{(1+3st)M}{2}+s^3P_2(t) \ln\frac{2}{N}+\frac{s^3(1-t^2)}{4} \\ F_{1}(s,t)&=\ln \left(1+\frac{2s}{1-s+L} \right) \\ F_{2}(s,t)&=\frac{1}{s},{L-1+tF_1(s,t),} \end{array} \end{equation} \]

$A\geq2$に対して

\[ F_{A+1}(s,t)=\frac{1}{A_s}\left\{L+(2A-1)tF_A-\frac{A-1}{s}F_{A-1} \right\} \]

となる.

4-4-2. ルジャンドルの多項式, 陪多項式2

5. 低次の多項式

\[ \begin{equation} \begin{array}{l} P_0(t)&=1 \\ P_1(t)&=t \\ P_1^1(t)&=(1-t^2)^{\frac{1}{2}} \\ \\ P_2(t)&=\frac{3}{2}t^2-\frac{1}{2} \\ P_2^1(t)&=3(1-t^2)^\frac{1}{2}t \\ P_2^2(t)&=3(1-t^2) \\ \\ P_3(t)&=\frac{5}{2}t^3-\frac{3}{2}t \\ P_3^1(t)&=\frac{3}{2}(1-t^2)^\frac{1}{2}(5t^2-1) \\ P_3^2(t)&=15(1-t^2)t \\ P_3^3(t)&=15(1-t^2)^\frac{3}{2} \\ \\ P_4(t)&=\frac{35}{8}t^4-\frac{15}{4}t^2+\frac{3}{8} \\ P_4^1(t)&=\frac{5}{2}(1-t^2)^\frac{1}{2}(7t^3-3t) \\ P_4^2(t)&=\frac{15}{2}(1-t^2)(7t^2-1) \\ P_4^3(t)&=105(1-t^2)^{\frac{3}{2}}t \\ P_4^4(t)&=105(1-t^2)^2 \end{array} \end{equation} \]

6. 有用な漸化式

\[ \begin{equation} \begin{array}{rrrr} (n-m+1)P_{n+1}^{m}(t) & -(2n+1)tP_n^m(t) & +(n+m)P_{n-1}^m(t) & =0 \\ P_{n+1}^m(t) & -P_{n-1}^m(t) & -(2n+1)(1-t^2)^\frac{1}{2}P_n^{m-1}(t) & =0 \\ P_{n-1}^{m}(t) & -tP_{n}^{m}(t) & -(n-m+1)(1-t^2)^\frac{1}{2}P_n^{m-1}(t) & =0 \\ tP_{n-1}^{m}(t) & -P_{n+1}^{m}(t) & +(n+m)(1-t^2)^\frac{1}{2}P_n^{m-1}(t) & =0 \\ (n-m)tP_{n+1}^m(t) & -(n+m)P_{n-1}^{m}(t) & +(1-t^2)^\frac{1}{2}P_n^{m+1}(t) & =0 \\ (n-m+1)P_{n+1}^m & -(n+m+1)tP_n^m(t) & +(1-t^2)^\frac{1}{2}P_n^{m+1}(t) & =0 \\ P_n^{m+1}(t) & -\frac{2mt}{((1-t^2)t)^\frac{1}{2}}P_n^m(t) & +(n+m)(n-m+1)P_n^{m-1}(t) & =0 \end{array} \end{equation} \]

7. その他の公式

\[ \begin{equation} \begin{array}{l} P_n^n&=\frac{(2n)!}{2^2n!}(1-t^2)^\frac{n}{2} \\ 1&=P_0(t) \\ t&=P_1(t) \\ t^2&=\frac{2P_2(t)+P_0(t)}{3} \\ t^3&=\frac{2P_3(t)+3P_1(t)}{5} \\ t^4&=\frac{8}{35}P_4(t)+\frac{4}{7}P_2(t)+\frac{1}{5}P_0(t) \end{array} \end{equation} \]