4-1. 楕円体の幾何学
高知大学自然科学系 田部井隆雄
神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫
京都大学大学院理学研究科 福田洋一
楕円は, 2定点(焦点F, F')からの距離の和が一定な点の軌跡である. 楕円の方程式は, 長軸半径をa , 短軸半径をb とすると
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \tag{1}\]
である(図1).
(1-1)の楕円をz軸の周りに回転させたときに得られる回転楕円体の方程式は
\[ \frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \tag{2}\]
である(図2).
楕円または回転楕円体で, 焦点距離を$\overline{OF}$とすると
\[ \overline{OF}^2=a^2-b^2 \tag{3} \]
である.
焦点距離OF と長軸半径a の比を 離心率(eccentricity)e=OF/a , 短軸半径との比を第2離心率e'=OF/b と呼び, (1-3)式より
\[ e^2=\frac{(a^2-b^2)}{a^2} \tag{4} \]
\[ e'^2=\frac{(a^2-b^2)}{b^2} \tag{5} \]
である.
楕円の扁平率f は
\[ f=\frac{a-b}{a} \tag{6} \]
で定義され, 扁平率と離心率には
\[ e^2=f(2-f) \tag{7} \]
の関係がある.